Permainan Matematika

siapkan kalender tahun brp aja yg kmu punya, klo bs 2 buah(utk kmu pegang 1 utk temanmu 1).

mnta teman anda utk memilih bulan yg ada pd kalender tsb (misal bualan april).

mnta teman anda utk melingkari 1 tanggal pd setiap mingguny pd bulan tsb( misalny ia melingkari tgl 2 pd minggu pertama, tgl 4 pd mnggu kedua, tgl 15 pd mnggu ketiga, tnggal 17 pd mnggu keempat,dan tgl 30 pd mnggu kelima), blang sama tmanmu jgn memberi tw kpd kmu angka" serta jumlahny, krn kmu akan menebak jumlahny.

mnta teman mu utk mnyebutkan hariny saja tp jgn berurutan setiap mingguny (misal hr senin, sabtu, jum'at,minggu.dan sabtu)

dan akhirny kmu bs menjumlahkan semwa tgl yg di pilih temanmu, dg rasa percaya diri kmu menjawab 68

• bgni rumusny: setelah temnmu memilih bulan yg ad pd kalender tsb, lngsung saja kmu jumlahkan tgl" pd hr rabu (misalny pd bulan april jumlahny -1+6+13+20+27=65lalu kmu bs menebak jumlah dr tgl" temanmu dg rumus atau formula bgni:
• jika di sebutkan hari minggu -3 senin -2 selasa -1 rabu +0 kamis +1 jum'at +2 sabtu +3(misal pd kasus di atas di pilih hr senin,sabtu, jum'at minggu dan sabtu, maka hsilny 65-2(utk hr senin)+3(utk hr sabtu)+2(utk hr jum'at)-3(utk hr senin)+3(utk hr sabtu)=68

Sory ya klo kata-katanya berbelit-belit  hehehe :D

Permainan Matematika ^5

Efect: anda bs menetukan dg cepat tanpa kalkulator menghitung akar pangkat 5 dr sebuah bil

Jalan permainan:1, minta teman anda utk menulis angka 2 dgit terserah brp aja,,,(jgn lp kasi teman anda kalkulator) misal n2, suruh dya memangkatkan 5 bil tsb maka jadiny n^5, lalu mnta teman anda utk menyebutkan hasilnya3, dg cepat anda dapat menybutkan nilai n yg di pilih temn anda

Rahasia hanya anda menghafal urutan berikut
(1 --> 100rb)
(2 --> 3 juta)
(3-->24juta)
(4 --> 100juta)
(5 --> 300juta)
(6 --> 777juta)
(7 --> 1,5 milyar)
(8-->3milyar)
(9 --> 6 Milyar)

misal: n^5=79.235.168 dg cepat anda dpat mnyebutkan n=38 lihat 79235168 berada di antara 24juta n 100juta jd dgit awal dr n adlah 3 dan dgit akhirnya 8 (liht dgit akhir dr 79.235.168)

SOAL UJIAN MID GABR

1. tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya berada pada garis x+y-6=0 dan melalui titik F(6,6) dan K(0,6) !
2. L1 tegak lurus L2 (L1,L2)=T(6,0) r2= 2 akar 2
tentukan pers L2 jika pers L1: x^2+y^2-6x-6y=0
3. L2 membagi 2 L1 r2=3 akar 2, tentukan L2 jika
(L1,L2)=K(0,6) dan L1: x^2+y^2-6y=0
4. tentukan pers dan unsur-unsur elips jika:
F(-2,1) dan direktrik yg sepihak dg F adalah x=1/4 dan melalui A(-1,1)

PERMAINAN ANGKA ALA JOE SANDY (PERSEGI 4 X 4)

Siapa yang tidak kenal Joe Sandy? Seorang yang menjadi pemenang acara The Master Season 1 dan sekarang Joe Sandy menyandang gelar Master Angka karena kepintarannya mengolah angka dengan cepat.
Permainan angka yang dilakukan Joe Sandy yang membuat penjumlahan angka secara horizontal, vertikal, diagonal, 4 angka memusat, dan 4 angka pojok (sudut) yang mendapatkan hasil yang sama.
Naahh..,, ada sedikit mengungkap rahasianya master Joe Sandy di JILID ke-2 ini (PERSEGI 4 x 4)
Dan tentunya semua itu tidak terlepas dari rumus MATEMATIKA.

Ini dia rumusnya :
A B C D
(D - 3) (C + 3) (B - 1) (A + 1)
(B + 1) (A - 1) (D - 1) (C + 1)
(C + 2) (D - 2) (A + 2) (B - 2)

Minta teman anda menentukan angka A, B, C, D.
Misalnya teman anda menentukan A=20 , B=10, C=15, D=25
Nah,, jumlahnya secara horizontal adalah 70.
Bagaimana membuat semua penjumlahan secara horizontal, vertikal, diagonal, memusat 4 angka,  dan bahkan 4 angka pada setiap pojok menghasilkan angka yang sama yaitu 70?
Caranya tinggal masukkan rumus diatas, menjadi spt dibawah ini :
20 10 15 25 =>> 70
22 18 9 21 ==>> 70
11 19 24 16 ==>> 70
17 23 22 8 ==>> 70
|| || || ||
V  V  V  V
70 70 70 70 

Begitu juga dgn diagonal, 4 angka memusat, 4 angka pojok berjumlah 70
Huah,,, permainan angka ala Joe Sandy selesai.. Asyik bukan.??,hehe..
Jika ada yang bingung bisa ditanyakan sama Ahmad Syukri(085268208411) langsung hehehehehheehe ^_^

Modulo (1)

Assalamu'alaikum wr wb
berhubung di semester 3 ini ada MK Teori Bilangan, dan salah satu materinya ada masalah modulo
maka saya mau berbagi sedikit tentang Modulo

nama lain dari modulo itu sisa pembagian

Misalnya,

11 dibagi 4
hasilnya 2 sisanya 3

dlm penulisan modulo

11 mod 4 = 3

Atau

Kongruensi

11 Ξ 3 (mod 4)

Ξ Itu simbol kongruen. Sama dg tp ada 3

Klo sama dg kn artinya sama.. Ruas kanan sama dg ruas kiri..

Klo kngruensi pada modulo itu simbol..
Jadi

10 Ξ 2 (mod 4)

Itu artinya
4 hbs membagi 10-2

definisi modulo
a=b mod c <--> c l (a-b) "c membagi a-b" <--> a-b = kc atau
a= kc + b.
bahasa lebih sederhanany
a di bagi c sisany b
a=b mod c dibaca "a kongruen b modulo c"

Note:
lambang sbnrny bukan "=" sama dengan, tp yg strip tiga yg dr mas sihab dibacany kongruen

kita akan sering menggunakan
a Ξ b (mod c)

sifat pada modulo
1. Utk penjumlahan...

a+k Ξ b+k (mod c)

Jd pd modulo, kita boleh menambahkan k sprti tsb
2. Utk pengurangan

a-k Ξ b-k (mod c)
‎3. Utk perkalian

ak Ξ bk (mod c)
4. untuk pembagiana/kΞb/k mod(c/gcd(k,c))
atau
Utk pembagian perlu hati2..

Misalkan m adlh fpb dari k dan c

a Ξ b (mod c)

maka

a/k Ξ b/k (mod c/m)

Berapakah sisa dari
5.5.5.5.5 dibagi 11

itu 5^5

Gunakan sifat

a^(p-1) ≡ 1(mod p)disini diingat untuk p prima berlaku rumus tersebut

5^10 = 1 mod 11
(5^5)^2 = 1 mod 11

maka..
(5^5) mod 11= (1 mod 11)^2

(5^5) mod 11
=(25 x 25 x 5) mod 11
=[(25 mod 11)(25 mod 11)(5 mod 11)] mod 11
=(3x3x5) mod 11
=45 mod 11
=(4x11 + 1) mod 11
=1 mod 11
=1

5 Ξ 5(mod 11)

gunakan sifat perkalian

5.5 Ξ 5.5(mod 11)
5.5 Ξ 25(mod 11)
5.5 Ξ 3(mod 11)
5.5.5 Ξ 3.5(mod 11)
5.5.5 Ξ 15(mod 11)
5.5.5 Ξ 4(mod 11)
5.5.5.5 Ξ 4.5(mod 11)
5.5.5.5 Ξ 20(mod 11)
5.5.5.5 Ξ 9(mod 11)
5.5.5.5.5 Ξ 9.5(mod 11)
5.5.5.5.5 Ξ 45(mod 11)
5.5.5.5.5 Ξ 1(mod 11)

Jd, sisanya 1


berapakah sisa dari
5! dibagi oleh 7

5 Ξ 5 (mod 7)
5.4 Ξ 5.4 (mod 7)
5.4 Ξ 20 (mod 7)
5.4 Ξ 6 (mod 7)
5.4.3 Ξ 6.3 (mod 7)
5.4.3 Ξ 18 (mod 7)
5.4.3 Ξ 4 (mod 7)
5.4.3.2 Ξ 4.2 (mod 7)
5.4.3.2 Ξ 8 (mod 7)
5.4.3.2 Ξ 1 (mod 7)
5.4.3.2.1 Ξ 1 (mod 7)

Jd, sisanya 1

berapakah sisa
(2^8) - 1 dibagi 5

2 Ξ 2(mod 5)

2.2 Ξ 2.2(mod 5)
2.2 Ξ 4(mod 5)
Atau
2^2 Ξ 4(mod 5)

2^2.2^2 Ξ 4.4(mod 5)
2^2.2^2 Ξ 16(mod 5)
2^2.2^2 Ξ 1(mod 5)
2^4 Ξ 1(mod 5)

2^4.2^4 Ξ 1.1(mod 5)

2^8 Ξ 1(mod 5)

Gunakan sifat pengurangan

2^8 - 1 Ξ 1 - 1(mod 5)
2^8 - 1 Ξ 0(mod 5)

Jd, sisanya 0
Berapa sisa 4 x 6 di bagi 5
‎4.6 mod 5 Ξ (5-1)(5+1) mod 5 Ξ 5^2 - 1 mod 5
Ξ -1 mod 5
Ξ 5 - 1 mod 5
Ξ 4 mod 5
jadi sisanya 4

berapakah sisa
(2^17)+(17^2) dibagi 9

‎{(2^17)+(17^2)} mod 9

2^4 mod 9 = 16 mod 9 = 7 mod 9
(2^4 x 2^4) mod 9 = (7x7) mod 9 = 49 mod 9 = 4 mod 9
(2^8 x 2^8) mod 9 = (4x4) mod 9 = 16 mod 9 = 7 mod 9
2^17 mod 9 = (2^16 x 2) mod 9 = (7x2) mod 9 = 14 mod 9 = 5 mod 9

17^2 mod 9 = (17 mod 9 x 17 mod 9) mod 9 = (8x8) mod 9 = 64 mod 9 = 1 mod 9

{(2^17)+(17^2)} mod 9 = 5 mod 9 + 1 mod 9 = 6 mod 9 = 6
cara 2
2.2^16 + 289 mod 9
2.256^2 + 289 mod 9
2.(252+4)^2 + 289 mod 9
32+289 mod 9
321 mod 9
6 mod 9
6

kita ke bilangan yg besar
Berapa sisa
7^77 dibagi 12

‎7.7^76 mod 12
7.49^38 mod 12
7.(48+1)^38 mod 12
7.1^38 mod 12
7 mod 12
=7

Misal kita ambil bilangan:

(32+13)^2 dibagi 8
ini artinya=
32x32 + 32x13 +32x13 + 13x13.

nah 32 merupakan faktor dari 8
jadi Jika ada perkalian yang merupakan faktor 8, Jika dikali berapapaun lalu di bagi 8 pasti tidak ada sisanya..

jadi dari faktor (32+12)^2 yang buukan faktor 8 hanya 13x13

jadi (32+13)^2 mod 8=
13^2 mod 8
169 mod 8
1 mod 8
=1
brpakah sisa 3^2002 dbagi 100 !
‎3^5 = 243

3^5 Ξ 243(mod 100)
3^5 Ξ 43(mod 100)

3^5.3^5 Ξ 43.43(mod 100)
3^5.3^5 Ξ 1849(mod 100)
3^10 Ξ 49(mod 100)

3^10.3^10 Ξ 49.49(mod 100)
3^10.3^10 Ξ 2401(mod 100)
3^20 Ξ 1(mod 100)
(3^20)^100.3^2 Ξ 1^100.3^2(mod 100)
3^2002 Ξ 9(mod 100)

Jd jwbnnya 9
Berapakah sisa dari (3^2011) - 1 dibagi 61
3^2 kong 9 mod 61
3^4 kong 20 mod 61
3^8 = (3^4)^2 =400 kong 34 mod 61
3^10= (3^8)(3^2)=34x9=306 kong 1 mod 61
(3^10)^100=3^1000 kong 1 mod 61
(3^1000)(3^1000)(3^10)(3)=
3^2011 kong (1x1x1x3=3) mod 61
3-1=2
cara 2
3^2 Ξ 9(mod 61)

3^4 Ξ 81(mod 61)
3^4 Ξ 20(mod 61)

3^4.3^4 Ξ 20.20(mod 61)
3^4.3^4 Ξ 400(mod 61)
3^8 Ξ 34(mod 61)

3^2.3^8 Ξ 9.34(mod 61)
3^10 Ξ 306(mod 61)
3^10 Ξ 1(mod 61)

[(3^10)^100].3^11 Ξ 1^100.3^10.3^1 (mod 61)
3^2011 Ξ 1.3(mod 61)
3^2011 Ξ 3(mod 61)

(3^2011) - 1 Ξ 3 - 1(mod 61)
(3^2011) - 1 Ξ 2(mod 61)

jd sisanya 2..

kita kan tahu bhwa
10 Ξ 2 (mod 4)

Jika dibagi 2
Fpb dr 2 dn 4 adlh {2}

10/2 Ξ 2/2(mod 4/{2})

5 Ξ 1(mod 2)

{2} hy utk mmbdakan dg 2.
2 yg ada krungnya itu dr fpb dr pmbagi dan mod


kita td udh ngitung,
3^2002 Ξ 9(mod 100)

berapakah sisa dari

3^2001 dibagi 100

3^2002 Ξ 9(mod 100)
Fpb dr 100 dan 3 adlh 1.

3^2002/3 Ξ 9/3 (mod 100/1)

3^2001 Ξ 3(mod 100)

jd sisanya 3
berapakah sisa 2^70 + 3^70 dibagi 13kan sesuai teorema a^n+b^n habis dibagi a+b jadi (2^2)^35 +(3^2)^35 habis dibagi 2^2+3^2=13oha ya a^n+b^n habis dibagi a+b berlaku untuk n bilbul ganjilberapakah sisa pembagian dari 47^99 oleh 100
47^2 Ξ 9 mod 100
47^4 Ξ (9x9=81) mod 100
47^5 Ξ (81x47=3807) --> 7 mod 100
(47^5)^19 = 47^95
stiap klipatan 4 maka bnyk sisa akan kmbli k awal. jd 47^95 = 43 sisa'a, yaitu (7^3 mod 100)
47^99=47^95 x 47^4 = (43x81=3483) mod 100
maka 83

47^99 mod 100

47^2 Ξ 9 mod 100
47^3 Ξ 23 mod 100
(47^3)^3 Ξ 67 mod 100
47^9 Ξ 67 mod 100
47^10 Ξ 49 mod 100

47^11 Ξ 3 mod 100
(47^11)^3 Ξ 27 mod 100
47^33 Ξ 27 mod 100
(47^33)^3 Ξ 83 mod 100
47^99 Ξ 83 mod 100

sisa 83



47^99 mod 100
euler 100= 100(4/5)(1/2)=40
(47^(40.2)).47^19 mod 100
=1.47^19 mod 100
=(47^2)^9 . 47 mod 100
=(2209)^9 . 47 mod100
=9^9 . 47 mod 100
=729^3 . 47 mod 100
=29.29.29.47 mod 100
=41.63 mod 100
=83 mod 100
EULER
Jika a^m mod b, dengan a dan b relatif prima, maka a^(euler b) mod b=1
euler b= b(1-(1/p))(1-(1/p))..
Dengan p=faktor prima dari b
euler 100=100(1-1/5)(1-1/2)=100(
4/5)(1/2)=40
contoh lain, euler 12=12(1/2)(1/3)=2
nah soal yg td, 47 dan 100 kan prima, maka 47^euler100 mod 100=1


coba kerjain soal
37^134 mod 50
euler 50 = (1-1/2)(1-1/5) = 50 (1/2)(4/5) = 20
37^(20.5) . 37^23 mod 50
1.37^23 mod 50
37^20 . 37^3 mod 50
1.37^3 mod 50
37^2 . 37 mod 50
19 . 37 mod 50
703 mod 50
3 mod 50

cari euler dari:
50, 82, 105, 374
euler 50 = (1-1/2)(1-1/5) = 50 (1/2)(4/5) = 20euler 82 = 82(1-1/2)(1-1/41) = 82(1/2)(40/41) = 40
euler 105 = 105 (1-1/3)(1-1/5) = 105(2/3)(4/5) = 56
euler 374 = 374(1-1/2)(1-1/187) = 374 (1/2)(186/187) = 186


13^147 mod 82

euler 82 = 40
13^(40.3+27) mod 82
=13^27 mod 82
=(13^2)^13 . 13 mod 27
=5^13. 13 mod27
=(5^3)^4. 5. 13 mod 82
=(43^2)^2. 5. 13 mod 82
=45.5.45.13 mod 82
=61.11 mod 82
=15 mod 82TEOREMA FERMAT KECIL
Jika p adlh bil prima dan p tdk mmbagi a, maka
a^(p-1) ≡ 1(mod p)
yang berhubungan dengan modulo yaitu a^(euler dari p) ≡1 (mod p)eluler udah dijelaskan diatas tadi

berapakah sisa dr 5^38 jika dibagi 11

Manfaatkan
5^10 Ξ 1(mod 11)

5^38 = 5^(10.3 + 8) = (5^10)^3.(25 mod 11)⁴ mod 11 = (11.2 + 3)⁴ mod 11 = 3⁴ mod 1181 mod 11 = 4 mod 11

Jadi sisanya 4

Sumber:
David M Burton - Elementary Number Theory

bandingkan cra biasa
5^38 jika dibagi 11
5^2(19) mod11
25^19 mod11
(2.11+3)^19 mod 11
3^19 mod11
[3^3(6) x 3 ]mod11
[27^6 mod 11 x 3 mod11]mod11
[(11.2 +5)^mod11 x 3 mod11] mod11
[5^6mod11 x 3mod11] mod11
[25^3mod11 x 3 mod11]mod 11
[(2.11+3)^3 mod11 x 3 mod11] mod11
3^3 mod11 x 3 mod11]mod11
27mod11 x 3 mod11]mod11
5mod11 x 3 mod 11]mod11
5 x 3] mod 11
15 mod11
4mod 11
disingkat jadi
5^38
= 5^(10.3 + 8)
= (5^10)^3 . (5^8)
= (5^10)^3 . (5^2)^4
= (5^10)^3 . (25)^4
= 1^3 . 3^4
= 81

81 = 4 mod 11

berapa sisa dari 5^11 dibagi 11
cara fermat5^11 mod 11
=[5^(10+1)] mod 11
=(5^10 x 5) mod 11
=(1 x 5) mod 11
=5 mod 11
=5
cara biasa

5=5 mod 11
5^2 = 25 mod 11 = 3 mod 11
5^4 = 3^2 mod 11 = 9 mod 11
5^8 = 9^2 mod 11 = 81 mod 11 = 4 mod 11
5^16 = 4^2 mod 11 = 16 mod 11 = 5 mod 11
5^32 = 5^2 mod 11 = 25 mod 11 = 3 mod 11
5^38 = 5^32 .5^4 .5^2 mod 11=3.9.3 mod 11=81 mod 11=4 mod 11

penjelasan rinci dari bang DK
‎5^38 mod 11
karena 11 bilangan prima, sesuai teorema fermat, berlaku:
5^(11-1)=1 mod 11
5^10 = 1 mod 11
38=10.3 + 8
sehingga
5^38 = (5^10)^3 . 5^8 = 1^3. 5^8 mod 11
5^38 = 5^8 mod 11
bearti masalah sudah jd lbh sdrhn, tinggal nyari 5^8 mod 11
dan selanjutny tinggal pake cara manual
5=5 mod 11
5^2 = 25 mod 11 = 3 mod 11
5^4 = 3^2 mod 11 = 9 mod 11
5^8 = 9^2 mod 11 = 81 mod 11 = 4 mod 11
kesimpulan: 5^38 = 5^8 = 4 mod 11
sehinga sisa pembagian 5^38 di bagi 11 adalah 4

Modulo (2)

kali ini di modulo jilid 2 kita membahas tentang teori wilson dan pangkat yang dipangkatkan dalam modulo
pertama tama kita membahas tentang teori wilson
Teori Wilson

rumus:
rumus umunya yaitu

1. (p-1)! Ξ -1 (mod p) atau (p-1)! Ξ (p-1) (mod p)
untuk p adalah bil prima
pembuktiannya ada di http://asimtot.wordpress.com/2010/06/01/teorema-wilson/ dan http://hendrydext.blogspot.com/2009/08/teorema-wilson.html


lalu kita kembangkan
(p-1)! Ξ (p-1) (mod p)
(p-1).(p-2)! Ξ (p-1) (mod p)
(p-2)! Ξ 1 (mod p)
jadi rumus ke 2

2.(p-2)! Ξ 1 (mod p)
kembangkan lagi jadi rumus ke tiga yaitu

3. (p-3)! Ξ (p-1)/2 (mod p) disini untuk p prima >2
setelah dikembangkan lagi saya menemukan rumus baru yaitu

4. (p-4)! Ξ(p+1)/6 (mod p) dan -(p-1)/6 (mod p) ada dua kemungkinan
kita lihat dari p nya
jika p=6k+1 maka (p-4)! Ξ -(p-1)/6 (mod p)
jika p=6k-1 maka (p-4)! Ξ (p+1)/6 (mod p)
berlaku untuk p prima dan >3

untuk yang (p-5)! sudah tinggal memakai invers modulo peyelesaian dengan menggunakan persamaan diophantine seperti yang akan dijelaskan dibawah ini!

dan banyak pengembangan lain yang bisa diperoleh seperti
5. a^p +a(p-1)! Ξ a^(p-1) -1 = 0 (mod p)
untuk pembuktian bisa request!


soal 1.
Berapakah sisanya
16! dibagi 17
‎

(17-1)! Ξ -1 (mod 17)
16! Ξ -1 (mod 17)
16! Ξ ((-1)17 + 16) (mod 17)
16! Ξ 16 (mod 17)

jadi sisanya 16

soal 2.
Tentukan sisa dari
21! dibagi 23

21! mod 23 Ξ (23-2)! mod 23
21! mod 23 Ξ 1 mod 23
jd sisanya 1

soal 3.
berapakah sisa dari
131! dibagi 131

131! mod 131 Ξ 0 mod 131

jd 131! habis dibagi 131 (sisa = 0)

soal 4.
Berapakah sisa dari
2(26!) dibagi 29

pake rumus ke 3
26! Ξ (29-1)/2 mod 29
26! Ξ 14 mod 29
2.26! Ξ 2.14 mod 29
2.26! Ξ 28 mod 29

atau
(p-2)!Ξ1 (mod p)
27! Ξ 1 (mod 29)
27.26! Ξ 1 (mod 29)
27.26!Ξ29k+1 (mod 29)
k=13
26! Ξ 14 (mod 29)
2.26! Ξ 28 (mod 29)


soal 5.
gunakan rumus ke 5 yang diatas
7^2011 +7(2010)! mod2011
sisanya 0

atau
7^2011 +7(2010)! mod2011
7^2010 .7 +7(-1) (mod 2011)
7-7 (mod 2011)
0 (mod 2011)

soal 6.
9!.(7!^11) +9!(10!) mod 11

(1).(7!^10).7! +1(-1) (mod 11)
7! -1 (mod 11)

8! Ξ (11-1)/2 (mod 11)
8.7! Ξ 5 (mod 11)
2^7.8.7!Ξ2^7.5 (mod 11)
7! Ξ 2^4 .2^3 .5 (mod 11)
7! Ξ 5 .8 .5 (mod 11)
7! Ξ 2 (mod 11)

7! -1 (mod 11)
2-1 (mod 11)
1 (mod 11)

soal 7.
7.(2008!) (mod 2011)

7.(2011-1)/2 (mod 2011)
7.1005 (mod 2011)
7035 mod 2011
1002 mod 2011

atau
7(2008!) mod 2011?
2009! Ξ 1 mod 2011
2009.2008! Ξ 2011e+1 mod 2011
e=1004
2008! Ξ 1005 mod 2011
7.2008! Ξ 7.1005 mod 2011
7.2008! Ξ 7035 mod 2011
7.2008! Ξ 1002 mod 2011

soal 8.
18!^17!^16! mod 19

hint :
prhtkn ini
(18!)^1 Ξ -1 (mod 19)
(18!)^2 Ξ 1 (mod 19)
(18!)^3 Ξ -1 (mod 19)

Bdakan genap ganjil
18!^17!^16! Mod 19
17!^16!=genap krn 17!=genap,
maka
18!^17!^16! mod 19=1



konsep untuk soal (p-3-n)!
konsepnya gni,

Cnth: Kan berlaku
25 Ξ 1 (mod 4)
25 Ξ 5 (mod 4)
25 Ξ 9 (mod 4)
25 Ξ 13 (mod 4)
dst

Cnth soal.
4! Ξ ... (mod 7)

Kita kan memanfaatkan teorema
5! Ξ 1 (mod 7)
5.4! Ξ 1 (mod 7)

Trus kita gunakan sifat pembagian yg sdh kita bhas sblumnya..
Fpb dr 5 dan 7 adlh 1

5.4!/5 Ξ 1/5 (mod 7/1)

Tp masak, itu hasilnya pecahan.. G mgkn kan, makanya kita manfaatin.

5.4! Ξ [1] (mod 7)
5.4! Ξ [8] (mod 7)
5.4! Ξ [15] (mod 7)

Dg angka yg d dlm krung siku itu hbs dbgi 5.

Jdi,
5.4! Ξ 15 (mod 7)

Sfat pmbgian

5.4!/5 Ξ 15/5 (mod 7/1)

Shg

4! Ξ 3 (mod 7)

yg d dlm kurung kotak kan sbnarnya
7k+1 dg k bil bulat

kita inginnya 7k+1 itu menghasikan bil bulat ktka dbagi 5.

Jd
(7k+1)/5 = n

Maka
7k + 1 = 5n
5n - 7k = 1

Cari deh yg mememuhi, n dan k adlh bulat


Salah satu yg memenuhi:
n0=3, k0=2 (0=nol)
jadi, n dan k:
n=n0+(b/d)m
=3+(-7/1)m
n=3-7m
k=2-5m
dengan m bilangan bulat

kalo angkanya besar, gunakan cara persamaan diophantine!

Misal, ngawur angkanya

127k - 51n = 1

127=51(2)+25
51=25(2)+1

Krn sdh ada 1, maka proses dibalik

1=51-(25)2
1=51-(127-51(2))2
1=51(5)-127(2)
1=127(2)-51(5)

Jd, n0=5 dan k0=2
‎

k0=2,n0=5
k=2+127k
n=-5-51k


misal variabelnya x,y
ax+by=1
127x+51y=1
cari x0 dan y0 kaya cara bang sihab (algoritma euclid)
terus, rumusnya:
x=x0+(b/d)k
y=y0-(a/d)k
atau
x=x0-(b/d)k
y=y0+(a/d)k
d=divisor=gcd(x,y)
k=bilangan bulat (parameter)


Pangkat Berulang
contoh soal!

soal 9.
5^6^7 mod 11

5^1=5 mod 11
5^2=3mod 11
5^3=4mod 11
5^4=9mod 11
5^5=1mod 11
berulang stiap 5^5n
6^7 mod 5=6^4.6^3 mod 5
=36.6 mod5
=1mod5
jadi,
5^6^7 mod 11
=5^(5k+1)mod 11
=5 mod 11

atau
5^6^7 mod 11
euler 11=10
pangkatnya mencari sisa jika dibagi 10
6^7 mod 10
6 mod 10

5^6 mod 11
(5^2)^3 mod 11
5 mod 11

atau lagy
5^6^7 Ξ ... (mod 11)

Euler(11)=10

6^7 Ξ ... (mod 10)
6 pngkt brpapun hsilnya angkanya satuannya ya 6.

Jd,
Soal bisa ditulis
5^6 Ξ ... (mod 11)

5 Ξ 5 (mod 11)
5^3 Ξ 125 (mod 11)
5^3 Ξ 4 (mod 11)
5^3.5^3 Ξ 4.4 (mod 11)
5^6 Ξ 5 (mod 11)


soal 10.
2^2012 mod 100

2^2012 mod 100
pakai pembagi mod bagi dengan 4

2^2012/4 mod 100/(gcd100,4)
2^2010 mod 25 karena 25 dan 2 relatif prima kita pakai teori fermatnya
2^10 mod 25
1024 mod 25
24 mod 25
pakai perkalian mod lgy kali dngan 4
96 mod 100

GCD=Great Common Divisor= faktor persekutuan terbesar (FPB)


soal 11.
6^6^6 mod 37

6^6^6 mod 37
6^6 yg diatas pangkat 6 dijabarin jadi
2^6.3^6
keluarin 2 nya jadi 2(2^5.3^6)
msukan ke pangkatnya lagy
6^6^6 mod 37
6^{2(2^5.3^6)}
(6^2)^(2^5.3^6)
(6^2)^(2^5.3^6) mod 37
(36)^(2^5.3^6) mod 37
(37-1) ^(2^5.3^6) mod 37
(-1)^(2^5.3^6) mod 37
liat pangkatnya genap atau ganjil jelas genap maka
1 mod 37

atau
euler 37=36
6^6 Ξ 0 mod 36 (pangkatnya)

6^6^6 mod 37
6^0 Ξ 1 mod 37
jd sisa 1

atau
6^6^6 mod 37
jadi 6^6 jbarin lgy jd
6^5.6
oh ya .(titik) itu kali ya
6^5 jbarin lagy jadi
2^5 .3^5 .2.3
duanya di taruh depan
2.2^5.3^5.3
3 nya kalikan ke 3^5
jadi 2(2^5.3^6)
(6^2)^(2^5.3^6) mod 37
(36)^(2^5.3^6) mod 37
(37-1) ^(2^5.3^6) mod 37
(-1)^(2^5.3^6) mod 37
liat pangkatnya genap atau ganjil jelas genap maka
1 mod 37



soal 12.
2010^2011^2012^2013 mod 100


2010^2011^2012^2013 mod 100
10^2011^2012^2013
euler 100 =40
brarti pangkatnya di mod 40
2011^2012^2013 mod 40
11^2012^2013 mod 40
euler 40=16
pangkatnya di mod 16
2012^2013 mod 16
12^5 mod 16
0 mod 16
atau jadi 16k

11^2012^2013 mod 40
11^(16k) mod 40
1 mod 40
40k+1

10^2011^2012^2013 mod 100
10^(40k+1) mod 100
10^40k .10 mod 100
0.10 mod 100
0 mod 100


soal 13.
10^11^12 Ξ.... (mod 13)

euler 13=12
11^12 Ξ 1 mod 12 (pangkatnya)

10^11^12=10^1
jd 10^11^12 Ξ 10 mod 13


soal 14.
43^43^43 mod 100

43^43^43 mod 100
euler 100=40
43^40k mod 100=1
43^43 mod 40?
Euler 40=16
43^(16.2+11)mod 40
=43^11 mod 40
=3^11 mod 40
={(3^4)^2}3^3 mod 40
=(81^2)27 mod 40
=1^2. 27 mod 40
=27 mod 40
=40k+27

43^(40k+27) mod 100
=43^40k . 43^27 mod 100
=1.43^27 mod 100
=(43^4)^6 .43^3 mod 100
=1. 43^3 mod 100
=49.43 mod 100
=7 mod 100

atau
euler 100 = 40
43^43 mod 40
= 43^40 . 43^3 mod 40
=1 . 43^3 mod 40
=> 43 Ξ 3 mod 40
= 43^3 Ξ 27 mod 40

43^27 mod 100
=> 43^2 Ξ 49 mod 100
=> 43^3 Ξ 7 mod 100
=> 43^4 Ξ 1 mod 100
=> 43^(4.6) Ξ 1 mod 100
43^27= 43^24 . 43^3 Ξ 1 . 7 mod 100
7 mod 100

contoh soal campuran

soal 15.
2011(18!) +[2011(17!)]^2012^2013^2014 +7.(15!) mod 19

# 2011(18!) mod 19
= 2011 . 18 mod 19
=-2011 mod 19
=3 mod 19

# {2011(17!)}^2012^2013^2014 mod 19
{2011.(1)}^2012^2013^2014 mod 19
16^2012^2013^2014 mod 19
euler 19=18
2012^2013^2014 mod 18
14^2013^2014 mod 18
euler 18=6
2013^2014 mod 6
3^2.1007 mod 6
3 mod 6

14^3 mod 18
8 mod 18

16^8 mod 19
6 mod 19

# 7.15! Ξ ... mod 19
cara 1.
16! Ξ  (19-1)/2 mod 19
16.15! Ξ 9 mod 19
2^14.16.15! Ξ 2^14 .9 mod 19
15! Ξ (2^7)^2 .9 mod 19
15! Ξ  14^2 .9 mod 19
15! Ξ 6.9 mod 19
7.15! Ξ 72 mod 19
7.15! Ξ 16 mod 19

cara 2.
pake rumus ke 4
karena 19 adalah 6k+1 maka pakai rumus yang (p-4)! Ξ -(p-1)/6 (mod p) jadi
15! Ξ -(19-1)/6 (mod 19)
15! Ξ -3 (mod 19)7.15! Ξ -21 (mod 19)7.15! Ξ -3 (mod 19)
7.15! Ξ 16 (mod 19)


3 mod 19+6 mod 19+ 16 mod 19
=6 mod 19

PEMBUKTIAN PHYTAGORAS

PEMBUKTIAN PHYTAGORAS

Bangunan tersebut membentuk dua buah persegi yang terdiri dari empat buah segitiga siku-siku yang saling menempel antara satu dengan yang lainnya dan satu buah persegi.
Panjang sebuah persegi dalam adalah (a-b),tinggi segi tiga adalah a. Luas 4 buah segitiga ditambah luas persegidalam adalah c2

SOAL UJIAN SEMESTER GEOMETRI

1. Dik lingkaran 1 L1 (A,3 cm) , L2 (B,4 cm) dan L3 (C,2 cm). Jika AB=10cm , BC=8 cm dan AC= 6cm,
  a. Lukislah titik kuasa dari ketiga lingkaran tersebut
  b. Tentukan Kuasa titik tersebut terhadap Lingkaran

2. Dik limas TABCD dengan alas 5cm dan rusuk tegak 6cm
  a. Lukislah Bidang alpha melalui B dan tegak lurus DT
  b. Lukis sudut tumpuan antara bidang alpha dan bidang alas, serta tentukan tangen sudutnya
  c. Lukis jaring-jaring Limas serta penampangnya

3. Dik Kubus ABCDEFGH dg rusuk 6cm. titik P, Q, dan R masing2 titik Tengah GH, BC dan AE.
  a. Lukislah kubus tersebut dengan Bidang Frontal BDHF, sudut surut 30derajat serta perbandingan Proyeksi 2:3
  b. Lukislah penampang kubus Melalui P, Q, dan R
  c. Lukis jaring jaring kubus serta penampangnya
  d. Hitunglah luas Penampang tersebut

Good Luck,,,,,,,
Keep Smile :D

Dalil Steward

Dalil Stewart dan Bukti

CD adalah garis sebarang yang membagi AB menjadi AD dan BD. Panjang CD dapat dicari dengan menggunakan rumus Stewart. yaitu

CD^2 x AB = (BC^2 x AD) + (AC^2 x BD) + (AD x BD x AB)

Rumus stewart ini penting untuk dihafal. Karena akan sangat memudahkan kita untuk mencari panjang garis yang membagi di dalam sebuah segitiga. Untuk mencari garis tinggi, garis bagi maupun garis berat, bisa menggunakan rumus stewart tersebut.

Bukti untuk rumus atau dalil stewart :

Proyeksi CD pada AB adalah DE.
Perhatikan segitiga BDC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga tumpul. Berlaku :

BC^2 = CD^2 + BD^2 + (2BD x DE) …1)

Perhatikan segitiga ADC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga lancip. Berlaku :

AC^2 = CD^2 + AD^2- (2AD x DE) …2)

Dari persamaan 1) dan 2) kita peroleh

BC^2 = CD^2 + BD^2+(2BD x DE) …1)
AC^2 = CD^2 + AD^2-(2AD x DE) …2)

Persamaan 1) kita kalikan AD. Dan persamaan 2) kita kalikan BD

BC^2.AD = CD^2.AD + BD^2.AD + (2BD x DE)AD
AC^2.BD = CD^2.BD + AD^2.BD-(2AD x DE)BD

Kita lakukan penjumlahan pada kedua bentuk di atas. Diperoleh

BC^2.AD + AC^2.BD = CD^2.AD + BD^2.AD + CD^2.BD + AD^2.BD

Lakukan penyederhanaan. Dan diperoleh bentuk

CD^2 x AB = (BC^2 x AD) + (AC^2 x BD) + (AD x BD x AB)
Terbukti.

Dalil stewart ini akan mudah dihafal jika kita memperhatikan segitiganya. Perhatikan bahwa sisi yang dicari kuadrat dikalikan sisi yang sebagai alas sama dengan sisi miring kanan kuadrat dikalikan alas di depannya kemudian ditambah sisi miring kiri kuadrat dikalikan alas di depannya kemudian dikurangi dengan perkalian panjang-panjang bagian pada alas.
Dalil steward ini akan sangat berguna. Jadi, disarankan untuk dihafal.

Mencari nilai Sinus dan Cosinus untuk sudut istimewa 36 dan 72

Cos 36, Sin 36, Cos72, Sin72, Cos18, Sin18, Cos54, Sin54??

Memang bisa kita cari?
Bagaimana caranya?

Ada banyak sekali metode menemukannya, akan tetapi akan saya berikan salah satu cara yang pertama kali saya gunakan untuk menemukannya.

kita manfaatkan sifat trigonometrii:

2sin36.cos36 = sin(36+36) - sin(36-36) = sin72 - sin0
2sin36.cos108 = sin(36+108) - sin(108-36) = sin144 - sin72
-------------------------------------------------------------------------------------(+)
2sin36[cos36 + cos108] = sin 144.
2sin36[cos36 + cos 108] = sin(180 - 144) = sin36
2[cos36 + cos 108] =1

cos36 + cos108 = 1/2 ------------------>(1)

nah coba perhatikan selanjutnya
cos 36 + cos 108 = 2.cos((36+108)/2).cos((36-108)/2) = 2cos72.cos(-36) = 2cos72.cos36
=2(-cos108).cos36
sehingga diperoleh

cos36.cos108 = -1/4 ----------------(2)

kita misalkan saja bahwa  cos 36 dan -cos108 merupakan akar2 persamaan dari

x^2 - ax + b =0
maka
x1 + x2 = cos36 + cos108 = a
x1.x2 = cos36.cos108 = b

tetapi a = 1/2 dan b=-1/4, maka persamaan kuadrat tadi adalah:x^2 - x/2 -1/4 = 0
4x^2 - 2x -1 = 0

dengan menggunakan rumus abc, diperoleh:

x1 = (2+V(4+4))/8 = (V5 + 1)/4
x2 = (-2+V(4+4))/8 = (1- V5)/4

karena cos108 bernilai negatif, maka diperoleh:cos 36 = (V5 + 1)/4
cos 108 = (1-V5)/4 --->cos72 = (V5 - 1)/4

nah untuk sudut 18, dan 54, nilai sinus dan cosinus jg bisa ditentukan sekarang

SELAMAT MENCOBA!

^_^

SOAL UJIAN MID SEMESTER PROGRAM LINEAR (SENIN, 6-12-2010)

1. Suatu perusahaan menghasilkan 2 jenis barang yaitu barang 1 dan 2. untuk menghasilkan barang 1, diperlukan 1 unit bahan mentah dan 6 orang buruh. untuk menghasilkan barang 2, diperlukan 2 unit bahan mentah dan 6 orang buruh. Bahan mentah yg tersedia tidak lebih dari 10 dan buruh yg tersedia tidak lebih dari 36 orang. menurut ramalan bagian penjualan, permintaan barang 1 tidak melebihi 4 unit yg terjual. keuntungan yg diperoleh dari barang 1 dan 2 berturut2 adalah Rp 30.000 danRp 60.000.
Selesaikan masalah program linear di atas dengan cara :
 a. Grafik
 b. Aljabar


2. selesaikan soal berikut dengan metode simpleks
maksimumkan Z=40a+30b+50c
dengan kendala:
 6a+4b+c<= 32.000
 6a+7b+3c<= 16.000
 4a+5b+12c<=24.000
a,b,c >=0